Ejercicios de Circunferencia y Circulo

I) Resuelve:


1.- La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

2.- La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?


II) Escribe el nombre de la circunferencia que se indica :










III) Determina el valor del trazo pedido , de acuerdo , con los datos en las circunferencias del centro 0.





*RESULTADOS


I)
1.-
r = 90 : 100 = 0.9 m
L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m


2.- (^= elevado)
2 · π · r= 43.96 cm
r= 43.96/2 · π =7 cm
A = π · 7^2 = 153.94 cm^2

II)
a) Centro
b) Radio
c) Diámetro
d) Cuerda
e) Recta Secante
f) Recta Tangente

III)
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 4 cm

Esquema

Utilizando π

Sabiendo que "π" es una constante donde π ≈ 3, 14...

Sacando el Perimetro de una circunferencia
Perimetro de una circunferencia = π· Diametro
Como el diametro es el doble de la longitud del radio "r":
Perimetro de una circunferencia = 2·Π·radio.

Sacando el Diametro de una circunferencia
Diametro de una circunferencia = Perímetro / Π

Sacando el Area de una circunferencia
Area = Π · r^2

Π y su historia

Letra griega pi. Símbolo adoptado inicialmente en 1706 por William Jones y popularizado por Euler.El valor numérico de π truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es el siguiente:

Π =3,1415926535

El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia con la amplitud de su diámetro: Π = L/D. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, ya que tiene infinitas cifras decimales.

Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo).
Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático

Leonard Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal" de 1748. Fue conocida anteriormente como constante de Ludoph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (No se debe confundir con el número de Arquímedes).

El valor computado de esta constante ha sido conocido con diferentes precisiones en el curso de la historia, aparece de forma indirecta asociada con el número natural 3 y en Mesopotamia los matemáticos la empleaban como 3 y una fracción añadida de 1/8.

Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido ajustara casi con el anillo.
Euclides precisa en sus Elementos los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Arquímedes reúne y amplía estos resultados. Prueba que el área de un círculo es la mitad del producto de su radio por la circunferencia y que la relación del perímetro al diámetro está comprendida entre 3,14084 y 3,14285.

En el siglo II d. de C., Ptolomeo utiliza polígonos de hasta 720 lados y una circunferencia de 60 unidades de radio para aproximarse un poco más, y da el valor 3 + 8/60 + 30/3600 = 377/120 = 3'14166...

Uno de los casos más curiosos de la historia fue el del matemático inglés William Shanks, quien luego de un trabajo que le demandó casi veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desgraciadamente, Shanks incurrió en un error en el 528º decimal, y a partir de éste están todos mal.

Desde esa fecha hacia delante, se han consignado los siguientes resultados en la búsqueda de un valor para Pi:
Ferguson, en 1947, obtuvo un valor con 808 decimales.
Usando el computador Pegasus, en 1597, se logró una cifra con 7.840 decimales.
Más tarde, en 1961, usando un computador IBM 7090, se logró llegar a 100.000 decimales.
Luego, en 1967, con un CDC 6600, se llegó a 500.000 decimales.
En 1987, con un Cray-2, se obtuvo una cifra con 100.000.000 decimales para Pi..
Y finalmente, en 1995, en la Universidad de Tokio, se llegó a un valor de pi de 3,14… y se le agregan 4.294.960.000 de decimales.

Proporcionalidad en la circunferencia

1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.
2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.
3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.

Relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias

1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.
3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.
5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.
7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

Relacion entre el angulo del centro con el angulo inscrito que sostiene

El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Posiciones relativas de dos circunferencias:

Ángulos de la circunferencia:

1. Ángulo Central : Ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.

2. Ángulo Inscrito: Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas del círculo. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del angulo central que subtiene el mismo arco.

3. Ángulo semi-inscrito: Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados lo forman una tangente y una secante. La medida de un ángulo es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

4. Ángulo Interior:cuando 2 cuerdas se cruzan en un Pto interior a la circunferencia, diferente al centro. La medida de un Angulo interior es igual a la semisuma de los arcos correspondientes y divididos entre 2.

5. Ángulo Exterior:Es el ángulo cuyo vértice es un Pto exterior a la circunferencia.La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia se las medidas de sus arcos divididos entre 2.

Elementos de una circunferencia

Aqui se muestra cada elemento de la circunferencia con su derivado nombre.

Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Centro:Punto fijo en la circunferencia o circulo el cual equidista los puntos de la circunferencia

Tangente: Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Propiedades de las tangentes:

1. si una recta es perpendicular al radio en un pto de la circunferencia, entonces, la recta es tangente a la circunferencia.

2. las tangentes marcadas desde un punto exterior son congruentes al igual que los ángulos que une el centro con el Pto exterior.

Secante: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

Radio: Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.

El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.

La medida del radio es constante.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro es la cuerda de mayor medida.

El diámetro se nombra con la letra “d”.

El diámetro siempre es el doble del radio: d = 2r r = d/2 .

Elementos de una circunferencia:

Cuerda:Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Propiedades de la cuerda:

1. diámetro perpendicular a cuerda = 2segmentos y 2cuerdas congruentes

2. si las cuerdas son congruentes igual serán las que equidistan el centro

LA CIRCUNFERENCIA

Se llama circunferencia al lugar geométrico formado por puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

4. Trapecio Circular:Es la región del plano limitada por 2 circunferencias concéntricas y 2 radios.

3. Corona circular:Es la región del plano limitada por 2 circunferencias concéntricas, es decir, circunferencias con el mismo centro.

2. Sector Circular:Es la región del circulo limitada por 2 radios y el arco de la circunferencia comprendido entre ellos.

Elementos del círculo:

1. Segmento circular:Es la región del círculo limitada por una cuerda y su arco. Si la cuerda es un diámetro, cada región se llama semicírculo.

EL CIRCULO

Conjunto infinito de puntos que están dentro de la circunferencia.Es el luagar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.